Sous Section 1 Gymnase

Source PDF : 100 problèmes de probabilité.pdf

(Limite 50000 octets)

Analyse combinatoire et probabilités - Exercices et corrigés
Michel Semon
www.phymaths.ch

1

TABLE DES MATIÈRES

Table des matières
1 Introduction

5

2 Enoncés
2.1 Analyse combinatoire (dénombrement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Exercice M-Un cadenas à numéros a trois roues... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Exercice M-D’un jeu de 52 cartes, on tire... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Exercice M-Combien de nombres différents de 6 chiffres... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Exercice M-De combien de manières peut-on arranger 5 personnes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Exercice Combien de mots de 10 lettres... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Exercice La façade d’une maison compte 8 fenêtres... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Exercice Combien de couples de valeurs obtient-on... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.8 Exercice Le nombre d’atomes dans l’univers visible... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.9 Exercice Dans un groupe il y a 10 hommes, 8 femmes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.10 Exercice M. Jones va disposer 10 livres... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.11 Exercice Soit le mot mississippi ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.12 Exercice Combien de nombres différents... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.13 Exercice De combien de manières différentes peut-on gagner à l’euro-million... . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.14 Exercice Une boîte contient 12 boules, 3 rouges,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.15 Exercice À partir d’un groupe de 5 femmes et de 7 hommes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.16 Exercice Un groupe de 12 personnes doit être partagé en ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.17 Exercice De combien de manières peut-on asseoir ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.18 Exercice Un enfant possède 12 cahiers : 6 noirs, 4 rouges... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.19 Exercice On considère un groupe de 20 personnes.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.20 Exercice On veut former un comité de 7 personnes,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.21 Exercice Pour une partie de bridge ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.22 Exercice Si 8 tableaux noirs doivent être affectés à 4 écoles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.23 Exercice Un ascenseur quitte le rez-de-chaussée avec 8 personnes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.24 Exercice Fournir un argument d’analyse combinatoire... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.25 Exercice Un étudiant doit répondre à 7 des 10 questions... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.26 Exercice Huit nouveaux professeurs vont être... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.27 Exercice M-Combien de séquences différentes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.28 Exercice M-Une classe de l’école de Nyon a reçu... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.29 Exercice M-Les douze tomes d’une encyclopédie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.30 Exercice M-Il y a quelques années, chaque classe de gymnase... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.31 Exercice M-Une maîtresse de maison a onze amis ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.32 Exercice De combien de manières peut-on partager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Exercice M-Une urne contient 12 boules : 3 rouges, 4 bleues... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Exercice M-D’un jeu de 52 cartes, on tire 5 cartes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Exercice M-De 25 calculatrices, 5 ont un défaut... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Exercice M-On sélectionne un échantillon ordonné... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Exercice M-On tire 10 fois de suite à pile ou face... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Exercice M-Dans une assemblée de 400 personnes,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Exercice M-Une télé fabriquée en très grande série... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.8 Exercice M-Une agence de voyage fait un sondage statistique... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.9 Exercice On possède une cage avec 35 lapins et 4 hamsters... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.10 Exercice Soit un jeu de 52 cartes à jouer... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.11 Exercice Un comité de 5 personnes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.12 Exercice Dans une partie de carte, on distribue... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.13 Exercice Combien de personnes faut-il réunir... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.14 Exercice Un magasin accepte les cartes de crédit... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.15 Exercice 60% des élèves d’une école ne portent... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.16 Exercice Une école propose trois cours de langue... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.17 Exercice Après une soirée bien arrosée... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

2

TABLE DES MATIÈRES

2.2.18 Exercice Huit tours sont disposées au hasard ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.19 Exercice On jette une paire de dés équilibrés... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.20 Exercice Une urne contient cinq boules rouges... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.21 Exercice Une boîte contient n boules rouges ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.22 Exercice Une réserve clôturée abrite vingt cerfs... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.23 Exercice Le second Comte de Yarborough paria à 1000 contre 1... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.24 Exercice Une ville compte cinq hôtels... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.25 Exercice On dispose sur un rang 4 couples mariés... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.26 Exercice Calculer les chances de gagner à la loterie à numéro suisse... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.27 Exercice M-Dans un porte monnaie contenant des pièces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.28 Exercice M-Une boîte contient 36 boules,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.29 Exercice Dans la forêt équatoriale, chaque naissance de gorilles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.30 Exercice M-Dans une ville, 40% de la population... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.31 Exercice M-Dans une classe, 15% des notes de mathématiques... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.32 Exercice M-Dans une autre classe, la probabilité... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.33 Exercice M-On fait expérimentalement les constatations suivantes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.34 Exercice M-Trois boîtes A, B et C contiennent... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.35 Exercice M-Un programme pour arrêter de fumer permet... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.36 Exercice M-Dans une population, il y a 5% de daltoniens... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.37 Exercice M-Dans un gymnase, 4% des garçons et 1% des filles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.38 Exercice On jette deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.39 Exercice Une urne contient 6 boules blanches ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.40 Exercice Le roi vient d’une famille de 2 enfants... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.41 Exercice On choisit trois cartes au hasard... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.42 Exercice Une récente diplômée a l’intention de passer ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.43 Exercice Une grossesse ectopique a deux fois... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.44 Exercice Dans une certaine ville, 36% des familles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.45 Exercice Comment placer 20 boules, dont 10 sont... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.46 Exercice On considère deux boîtes, l’une contient... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.47 Exercice Trois cuisiniers A, B et C sont ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.48 Exercice Une classe compte 4 garçons et 6 filles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.49 Exercice La reine porte le gène de l’hémophilie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.50 Exercice On admet que le sexe du dernier enfant... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.51 Exercice Si A est inclu dans B, exprimer les probabilités... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.52 Exercice Avant de partir en vacances vous priez ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.53 Exercice Montrer que ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.54 Exercice M-Une urne contient quatre boules rouges... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.55 Exercice M-Un joueur a deux pièces de monnaie : ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.56 Exercice M-En Angleterre, on écrit le mot "rigueur"... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.57 Exercice M-Une urne contient 10 boules rouges... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.58 Exercice M-Une boîte contient 7 boules blanches... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.59 Exercice M-Un pêcheur a remarqué qu’après... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.60 Exercice M-On enferme dans une boîte munie d’un orifice... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.61 Exercice M-Une urne u1 contient 3 boules rouges,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.62 Exercice M-Dans une population équatoriale... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.63 Exercice M-Lors d’un concours, un candidat... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.64 Exercice M-Une famille a deux enfants. On sait... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.65 Exercice M-Un carton contient 12 verres dont 4... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.66 Exercice M-On jette 3 fois une pièce de monnaie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.67 Exercice M-On s’intéresse à une famille ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.68 Exercice M-Un club de tennis de 14 membres... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.69 Exercice M-Dans un parc national africain,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.70 Exercice On promet la liberté à un prisonnier... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.71 Exercice Paradoxe du Chevalier de Méré... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.72 Exercice M-Dans un groupe formé de ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.73 Exercice M-Une fabrique de webcams teste la qualité... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

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TABLE DES MATIÈRES

2.2.74 Exercice M-Un réfrigérateur contient 5 vaccins... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.75 Exercice M-Evariste va faire un tour au "Luna Park"... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.76 Exercice M-Le personnel d’un hôpital est réparti... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.77 Exercice M-Une pochette contient dix pièces :... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.78 Exercice Une famille de 6 enfants est composée... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.79 Exercice Dans une ville formée de six quartiers... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.80 Exercice Soit un groupe de 7 personnes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.81 Exercice Une petite école donne 30 cours chaque semaine... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.82 Exercice Un sac contient une boule verte ou bleue... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.83 Exercice Un filtre pour messages électroniques ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Variables aléatoires simultannées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Réponses détaillées aux exercices
31
3.1 Réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

4

1

Introduction

Avant tout une petite explication au sujet du choix du petit dessin de la page de titre. Beaucoup de mes
élèves n’aiment pas du tout, mais alors pas du tout les probabilités ! C’est donc pour eux et tous ceux qui
pensent qu’ils n’y arriveront jamais.
Les probabilités sont un sujet un peu à part dans l’étude des mathématiques. Le sujet semble facile au
premier abord, mais ce n’est qu’une apparence. L’étude paraît pouvoir se faire en utilisant son intuition,
car beaucoup de problèmes traduisent des situations quotidiennes. Cependant au fur et à mesure un besoin de structuration se fait sentir et certaines notions de base (analyse combinatoire et algèbre de Boole)
deviennent vite nécessaires.
Je me suis longtemps demandé si il fallait essayer de classer les exercices de probabilité ou d’analyse combinatoire en catégories distinctes. Je me suis vite rendu compte que ceci est plus embrouillant qu’utile.
C’est un sujet vraiment difficile et la seule manière de le cerner est de faire beaucoup d’exercices. J’ai donc
décidé de ne faire qu’une seule distinction en séparant les exercices d’analyse combinatoire de ceux de probabilité.
Le présent recueil contient plus d’une centaine de problèmes très divers. Ils sont tirés de différents livres
de référence, de séries d’exercices que mes élèves ont reçues ces dernières années, d’examens de maturité
et d’exemples que j’ai retrouvés dans mes notes de cours 1 . Quelques exercices ont étés traduits ou inspirés
du cours de Joe Blitzstein "Statistic 110 : Probability" de l’université de Harvard et d’autres de "Physique
statistique stat-340" de André-Marie Trembley, Université de Sherbrooke.
Les exercices précédés d’un M dans la table des matières sont des exercices donnés en classe de maturité
des gymnases suisses romands durant ces dernières années aux examens de maturités (niveaux standard
et renforcé). Cela ne veut pas dire qu’ils sont plus difficiles ou plus faciles que les autres. Je les ai signalés
simplement pour information.

2

Enoncés

2.1

Analyse combinatoire (dénombrement)

2.1.1

Exercice M-Un cadenas à numéros a trois roues...

Un cadenas à numéros a trois roues ; chacune porte les numéros 0 à 9. Combien de "nombres" secrets y
a-t-il ?
Solution

2.1.2

Exercice M-D’un jeu de 52 cartes, on tire...

D’un jeu de 52 cartes, on tire deux cartes simultanément (sans remise). De combien de manières différentes est-ce possible ?
Solution

2.1.3

Exercice M-Combien de nombres différents de 6 chiffres...

Combien de nombres différents de 6 chiffres existe-t-il
a) Si il n’y a aucune restriction ?
b) Si les nombres doivent être divisibles par 5 ?
c) si les répétitions de chiffres sont exclues ?
Solution

1. Le support de cours était le livre de Sheldon Ross, Initiations aux probabilités

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Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

5

2.1

Analyse combinatoire (dénombrement)

2.1.4

Exercice M-De combien de manières peut-on arranger 5 personnes...

De combien de manières peut-on arranger 5 personnes
a) sur une ligne ?
b) Autour d’une table ronde ? (seulement la position relative des uns vis-à-vis des autres importe).
Solution

2.1.5

Exercice Combien de mots de 10 lettres...

Combien de mots de 10 lettres peut-on former avec les 26 lettres de l’alphabet si
a) on utilise chaque lettre une seule fois,
b) on peut réutiliser les lettres.
Solution

2.1.6

Exercice La façade d’une maison compte 8 fenêtres...

La façade d’une maison compte 8 fenêtres, ces fenêtres peuvent être soit ouvertes soit fermées.
a) De combien de manières différentes peut se présenter cette façade ?
b) Même question si on considère que chaque fenêtre a deux battants ?
c) Qu’en est-il si la première fenêtre est toujours ouverte et la 6e toujours fermée (fenêtres complètes,
on n’oublie les battants).
Solution

2.1.7

Exercice Combien de couples de valeurs obtient-on...

Combien de couples de valeurs obtient-on en lançant deux dés de couleurs différentes ?
Solution

2.1.8

Exercice Le nombre d’atomes dans l’univers visible...

Le nombre de nucléons dans l’univers visible est estimé à 1080 . Combien de cartes différentes devraient
contenir un jeu pour que le nombre des permutations possibles dépasse cette valeur "énorme" ?
Indication

2.1.9

Exercice Dans un groupe il y a 10 hommes, 8 femmes...

Dans un groupe il y a 10 hommes, 8 femmes et 7 enfants. De combien de manières différentes peut-on
les placer sur une ligne si
a) ils peuvent se placer librement ?
b) Les hommes désirent rester groupés ?
Solution

2.1.10

Exercice M. Jones va disposer 10 livres...

M. Jones va disposer 10 livres sur un rayon de sa bibliothèque. Quatre d’entre eux sont des livres de
mathématiques, trois de chimie, deux d’histoire et un de langue. Jones aimerait ranger ses livres de façon
que tous les livres traitant du même sujet restent groupés. Combien y a-t-il de dispositions possibles ?
Solution

12 juin 2016-09:17

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

6

2.1

Analyse combinatoire (dénombrement)

2.1.11

Exercice Soit le mot mississippi ...

Soit le mot mississippi (figure 1), combien de permutations différentes obtient-on si
a) on ne tient compte ni de la casse (majuscules, minuscules) ni des couleurs ?
b) On tient compte de la casse et des couleurs ?

F IGURE 1 –

Solution

2.1.12

Exercice Combien de nombres différents...

Combien de nombres différents peut-on écrire avec les chiffres 3,3,5,0 ?
Solution

2.1.13

Exercice De combien de manières différentes peut-on gagner à l’euro-million...

De combien de manières différentes peut-on gagner à l’euro-million ? Il faut choisir 5 numéros parmi
50 et 2 étoiles numérotées parmi 11.
Solution

2.1.14

Exercice Une boîte contient 12 boules, 3 rouges,...

Une boîte contient 12 boules : 3 rouges, 4 bleus et 5 jaunes. On tire simultanément 3 boules. Combien
de combinaisons différentes existe-t-il si on désire avoir une boule de chaque couleur ?
Solution

2.1.15

Exercice À partir d’un groupe de 5 femmes et de 7 hommes...

À partir d’un groupe de 5 femmes et de 7 hommes, combien de comités différents composés de 2 femmes
et de 3 hommes peut-on former ? Qu’en est-il si 2 des hommes s’entendent mal et refusent de siéger simultanément au comité ?
Solution

2.1.16

Exercice Un groupe de 12 personnes doit être partagé en ...

Un groupe de 12 personnes doit être partagé en 2 groupes de 6 personnes. Un groupe partira en Indes
et l’autre en Australie. Combien y a-t-il de manières d’organiser les voyages ?
Solution

12 juin 2016-09:17

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

7

2.1

Analyse combinatoire (dénombrement)

2.1.17

Exercice De combien de manières peut-on asseoir ...

De combien de manières peut-on asseoir sur une ligne 4 garçons et 3 filles ? Qu’en est-il
a) si les garçons doivent rester ensembles et les filles aussi ?
b) Si seuls les garçons doivent rester ensemble ?
c) Si deux personnes du même sexe ne doivent jamais voisiner ?
Solution

2.1.18

Exercice Un enfant possède 12 cahiers : 6 noirs, 4 rouges...

Un enfant possède 12 cahiers : 6 noirs, 4 rouges, 1 blanc et 1 bleu. S’il tient à placer tous les noirs les
uns derrière les autres, de combien de manières peut-il placer ses cahiers ?
Solution

2.1.19

Exercice On considère un groupe de 20 personnes....

On considère un groupe de 20 personnes. Si chaque personne serre la main de toutes les autres, combien
y a-t-il de poignées de main ?
Solution

2.1.20

Exercice On veut former un comité de 7 personnes,...

On veut former un comité de 7 personnes, dont 2 républicains, 2 démocrates et 3 indépendants. On a le
choix parmi les 5 républicains, 6 démocrates et 4 indépendants. De combien de manières peut-on procéder ?
Solution

2.1.21

Exercice Pour une partie de bridge ...

Pour une partie de bridge chacun des 4 joueurs reçoit 13 cartes. Le jeu en compte 52. Combien y a-t-il
de donnes possibles ?
Solution

2.1.22

Exercice Si 8 tableaux noirs doivent être affectés à 4 écoles...

Si 8 tableaux noirs doivent être affectés à 4 écoles, de combien de manières peut-on les répartir ? Qu’en
est-il si chaque école doit recevoir au moins un tableau ? (Les tableaux noirs sont indiscernables)
Solution

2.1.23

Exercice Un ascenseur quitte le rez-de-chaussée avec 8 personnes..

Un ascenseur quitte le rez-de-chaussée avec 8 personnes (liftier non compris). Lorsqu’il repart du 6e
étage, il est vide.
a) De combien de manières le liftier a-t-il pu percevoir le départ des 8 personnes si pour lui elles se
ressemblent toutes ?
b) Qu’en est-il s’il peut faire la différence entre un homme et une femme, l’ascenseur contenant 5
hommes et 3 femmes au départ ?
c) Que se passe-t-il si pour lui, chaque personne est discernable ?
Solution

12 juin 2016-09:17

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

8

2.1

Analyse combinatoire (dénombrement)

2.1.24

Exercice Fournir un argument d’analyse combinatoire...

Fournir un argument d’analyse combinatoire pour expliquer que

C np = C nn− p = C nn− p,p
Solution

2.1.25

Exercice Un étudiant doit répondre à 7 des 10 questions...

Un étudiant doit répondre à 7 des 10 questions d’un examen.
a) De combien de manières peut-il les choisir ?
b) Même question s’il est obligé de choisir au moins 3 des 5 premières questions ?
Solution

2.1.26

Exercice Huit nouveaux professeurs vont être...

Huit nouveaux professeurs vont être envoyés dans 4 écoles (les professeurs et les écoles sont discernables).
a) Combien y a-t-il d’affectations possibles ?
b) Qu’en est-il si l’on impose que chaque école recevra deux professeurs ?
Solution

2.1.27

Exercice M-Combien de séquences différentes...

a) Combien de séquences différentes peut-on lire sur un compteur kilométrique de voiture, ce compteur
étant composé de 6 cylindres sur chacun desquels sont gravés les chiffres de 0 à 9 ?
b) Parmi les configurations ci-dessus, quel est le nombre de celles où figure exactement trois fois le
chiffre 5 ?
c) Même question, mais où figure au moins trois fois le chiffre 5.
d) Même question, mais où figure au moins une fois le chiffre 5.
Solution

2.1.28

Exercice M-Une classe de l’école de Nyon a reçu...

Une classe de l’école de Nyon a reçu 4 billets pour le cirque Knie. Sachant que cette classe est composée
de 19 élèves, calculer le nombre de façons de distribuer ces 4 billets dans chacun des cas suivants :
a) les billets sont numérotés et chaque élève ne peut recevoir qu’un seul billet ;
b) les billets sont numérotés et chaque élève peut recevoir plusieurs billets ;
c) les billets ne sont pas numérotés et chaque élève ne peut recevoir qu’un seul billet.
Solution

2.1.29

Exercice M-Les douze tomes d’une encyclopédie...

Les douze tomes d’une encyclopédie sont rangés au hasard.
a) Combien y a-t-il de manières de les classer ?
b) Parmi ces classements, combien y en a-t-il où les tomes 1 et 2 se trouvent côte à côte (dans cet
ordre) ?
c) Parmi ces classements, combien y en a-t-il où les tomes 1 et 2 se trouvent côte à côte ?
Solution

12 juin 2016-09:17

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

9

2.1

Analyse combinatoire (dénombrement)

2.1.30

Exercice M-Il y a quelques années, chaque classe de gymnase...

Il y a quelques années, chaque classe de gymnase devait avoir une délégation de trois élèves (un laveur
de tableaux, un chef et un sous-fifre). Une classe est composée de 11 filles et 3 garçons.
a) Combien y a-t-il de délégations possibles ?
b) Combien y a-t-il de délégations si le laveur de tableaux doit être un garçon ?
c) Combien y a-t-il de délégations possibles si les deux sexes doivent être présents dans la délégation ?
d) Voilà une variante du problème : supposons que chacun des délégués doit avoir un suppléant. Combien y a-t-il de délégations possibles si le délégué et le suppléant doivent être de sexe différent.
Solution

2.1.31

Exercice M-Une maîtresse de maison a onze amis ...

Une maîtresse de maison a onze amis très proches. Elle souhaite en inviter cinq à dîner.
a) Combien de groupes différents d’invités y a-t-il ?
b) Combien de possibilités y a-t-il si deux d’entre eux sont mariés et ne peuvent venir qu’ensemble ?
c) Combien de possibilités y a-t-il si deux d’ eux sont en mauvais terme et ne peuvent pas être invités
ensemble ?
Solution

2.1.32

Exercice De combien de manières peut-on partager

a) De combien de manières peut-on partager 12 personnes en trois groupes, un groupe de 2 et deux
groupes de 5 ?
b) Idem que a) mais avec trois groupes de 4 personnes ?
Solution

12 juin 2016-09:17

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

10

2.2

Probabilités

2.2

Probabilités

2.2.1

Exercice M-Une urne contient 12 boules : 3 rouges, 4 bleues...

Une urne contient 12 boules : 3 rouges, 4 bleues et 5 jaunes. On tire simultanément 3 boules. Calculer
la probabilité des événements suivants :
a) A="les trois boules sont rouges" ;
b) B="on a tiré une boule de chaque couleur" ;
c) C="aucune des trois boules n’est rouge" ;
d) D="au moins une des trois boules est rouge" ;
e) E="au moins une des trois boules est bleue" ;
f) F="au plus une des trois boules est bleue" ;
Solution

2.2.2

Exercice M-D’un jeu de 52 cartes, on tire 5 cartes...

D’un jeu de 52 cartes, on tire 5 cartes sans remise. Quelle est la probabilité de tirer
a) 5 coeurs ?
b) 2 piques et 3 coeurs ?
c) 5 trèfles ou 5 coeurs ?
d) 5 cartes de la même couleur (pique, coeur, carreau, trèfle) ?
e) 3 cartes d’une couleur et 2 d’une autre ?
f) les 4 as et une autre carte ?
Solution

2.2.3

Exercice M-De 25 calculatrices, 5 ont un défaut...

De 25 calculatrices, 5 ont un défaut. On en choisit 4 de manière aléatoire. Quelle est la probabilité
qu’aucune des 4 calculatrices soit défectueuse ?
Solution

2.2.4

Exercice M-On sélectionne un échantillon ordonné...

On sélectionne un échantillon ordonné de taille 3 d’un ensemble de 26 jetons sur lesquels figurent les
lettres de l’alphabet. Calculer la probabilité des événements suivants :
a) A = "ce sont 3 consonnes" ;
b) B = "ce sont 3 voyelles" ;
c) C = "c’est le mot MOI" ;
d) D = "c’est un anagramme du mot MOI".
Solution

2.2.5

Exercice M-On tire 10 fois de suite à pile ou face...

On tire 10 fois de suite à pile ou face avec une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité
d’obtenir exactement 4 fois face et 6 fois pile ?
Solution

12 juin 2016-09:17

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

11

2.2

Probabilités

2.2.6

Exercice M-Dans une assemblée de 400 personnes,...

Dans une assemblée de 400 personnes, 300 comprennent le français, 200 l’allemand, 90 l’anglais. 160
comprennent le français et l’allemand, 60 le français et l’anglais, 20 l’allemand mais ni l’anglais ni le
français et 20 comprennent les trois langues. On choisit une personne au hasard dans cette assemblée.
Quelle est la probabilité que cette personne comprenne
a) exactement deux des trois langues ?
b) Au moins une des trois langues ?
Solution

2.2.7

Exercice M-Une télé fabriquée en très grande série...

Une télé fabriquée en très grande série peut être défectueuse à cause de deux défauts différents désignés par A et B, 10% des appareils ont le défaut A, 8% ont le défaut B et 4% les deux défauts simultanément.
Un client achète l’un des appareils produits.
a) Quelle est la probabilité que l’appareil soit sans défaut ?
b) Quelle est la probabilité que l’appareil ne présente que le défaut A ?
c) Quelle est la probabilité que l’appareil ne présente que le défaut B ?
Solution

2.2.8

Exercice M-Une agence de voyage fait un sondage statistique...

Une agence de voyage fait un sondage statistique sur la connaissance de trois pays A, B, C : l’Australie, la Belgique et le Canada. On constate que parmi les personnes interrogées, 42% connaissent A, 55%
connaissent B, 34% connaissent C, 18% connaissent A et B, 10% connaissent A et C, 15% connaissent B et
C, 8% connaissent les trois pays. Un voyage est prévu pour l’une des personnes ayant répondu au sondage.
On tire au sort le gagnant. Quelle est la probabilité pour que le gagnant soit une personne :
a) connaissant au moins l’un de ces trois pays ?
b) ne connaissant aucun de ces trois pays ?
c) connaissant exactement deux des trois pays ?
d) connaissant A, mais ne connaissant ni B, ni C ?
e) connaissant A et B mais ne connaissant pas C ?
Solution

2.2.9

Exercice On possède une cage avec 35 lapins et 4 hamsters...

On possède une cage avec 35 lapins et 4 hamsters, on sort simultanément 3 animaux, quelles sont les
probabilités d’avoir. . .
a) au moins 1 lapin ?
b) exactement 1 lapin ?
c) d’avoir 3 hamsters ?
Solution

2.2.10

Exercice Soit un jeu de 52 cartes à jouer...

Soit un jeu de 52 cartes à jouer, on tire 5 cartes. Quelle est la probabilité d’obtenir une suite (les cartes
se suivent, mais n’ont pas toutes de la même couleur) ?
Remarque : Une suite dont les cartes ont la même couleur est une suite royale.
Solution

12 juin 2016-09:17

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

12

2.2

Probabilités

2.2.11

Exercice Un comité de 5 personnes...

Un comité de 5 personnes doit être choisi parmi 20 hommes et 5 femmes, quelle est la probabilité
a) qu’il se compose de 5 femmes ?
b) qu’il se compose de 4 hommes et 1 femme ?
Solution

2.2.12

Exercice Dans une partie de carte, on distribue...

Dans une partie de carte, on distribue les 36 cartes du jeu à 4 joueurs.
a) Quelle est la probabilité qu’un joueur reçoive tous les coeurs ?
b) Quelle est la probabilité que chaque joueur reçoive un roi ?
Solution

2.2.13

Exercice Combien de personnes faut-il réunir...

Combien de personnes faut-il réunir pour que la probabilité, que deux d’entre elles soient nées le même
jour dépasse 50% ? Solution

2.2.14

Exercice Un magasin accepte les cartes de crédit...

Un magasin accepte les cartes de crédit American Express ou VISA. 24% de ses clients possèdent une
carte American Express, 61% une carte VISA et 11% possèdent les deux. Quel est le pourcentage de clients
possédant une carte de crédit acceptée par le magasin ? Solution

2.2.15

Exercice 60% des élèves d’une école ne portent...

60% des élèves d’une école ne portent ni bague ni collier. 20% portent une bague et 30% ont un collier.
Si un des élèves est choisi au hasard, quelle est la probabilité qu’il porte :
a) une bague ou un collier ?
b) une bague et un collier ?
Solution

2.2.16

Exercice Une école propose trois cours de langue...

Une école propose trois cours de langue : un en espagnol, un en français et un en allemand. Ces cours
sont ouverts aux 100 élèves de l’école. Il y a 28 étudiants en espagnol, 26 en français et 16 en allemand. Il y
a 12 étudiants qui suivent l’espagnol et le français, 4 qui suivent l’espagnol et l’allemand et 6 qui étudient
le français et l’allemand. De plus, 2 élèves suivent les trois cours.
a) Si un élève est choisi au hasard, quelle est la probabilité qu’il suive exactement un cours de langue ?
b) Si un élève est choisi au hasard, quelle est la probabilité qu’il ne fasse partie d’aucun de ces cours ?
c) Si deux élèves sont choisis au hasard, quelle est la probabilité qu’au moins un des deux suive un
cours de langue ?
Solution

12 juin 2016-09:17

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

13

2.2

Probabilités

2.2.17

Exercice Après une soirée bien arrosée...

Après une soirée bien arrosée, Jules arrive devant sa porte avec son trousseau de 10 clefs qu’il ne peut
plus distinguer. Calculer
a) La probabilité qu’exactement la sixième soit la bonne.
b) Qu’il puisse ouvrir sa porte lors des trois premières tentatives.
Solution

2.2.18

Exercice Huit tours sont disposées au hasard ...

Huit tours sont disposées au hasard sur un jeu d’échec. Calculer la probabilité qu’aucune ne puisse en
prendre une autre.
Solution

2.2.19

Exercice On jette une paire de dés équilibrés...

On jette une paire de dés équilibrés. Avec quelle probabilité la valeur du résultat du deuxième dé estelle plus grande que celle du premier ?
Solution

2.2.20

Exercice Une urne contient cinq boules rouges...

Une urne contient cinq boules rouges, six bleues et huit vertes. Si un groupe de trois boules est tiré au
hasard, quelle est la probabilité que celles-ci soient
a) toutes de la même couleur ?
b) toutes de couleurs différentes ?
Solution

2.2.21

Exercice Une boîte contient n boules rouges ...

Une boîte contient n boules rouges et m boules bleues. On tire deux boules au hasard,
a) quelle est la probabilité qu’elles soient de la même couleur ?
b) même question si on effectue le tirage avec remise ?
c) Démontrer que la probabilité b) est plus grande que a).
Solution

2.2.22

Exercice Une réserve clôturée abrite vingt cerfs...

Une réserve clôturée abrite vingt cerfs. Cinq sont capturés, marqués et relâchés. Un peu plus tard,
quatre sont à nouveau capturés. Quelle est la probabilité que deux d’entre eux soient marqués ?
Solution

2.2.23

Exercice Le second Comte de Yarborough paria à 1000 contre 1...

Le second Comte de Yarborough paria à 1000 contre 1 qu’une main de 13 cartes au bridge contiendrait
au moins un 10 ou une carte de valeur supérieure (c.-à-d. un dix, un valet, une reine, un roi ou un as). Aujourd’hui, on appelle une main qui n’a pas de carte supérieure à 9 une Yarborough. Quelle est la probabilité
qu’au bridge, une main sélectionnée au hasard soit une Yarborough ?
Solution

12 juin 2016-09:17

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

14

2.2

Probabilités

2.2.24

Exercice Une ville compte cinq hôtels...

Une ville compte cinq hôtels. Si lors d’une journée trois personnes louent une chambre, quelle est la
probabilité qu’elles le fassent dans trois hôtels différents ? Quelles hypothèses faites-vous ?
Solution

2.2.25

Exercice On dispose sur un rang 4 couples mariés...

On dispose sur un rang 4 couples mariés au hasard. Quelle est la probabilité qu’aucun mari ne soit
situé à côté de sa femme ?
Solution

2.2.26

Exercice Calculer les chances de gagner à la loterie à numéro suisse...

Calculer les chances de gagner à la loterie à numéro suisse. Il faut choisir 6 numéros sur un total de 45,
plus un numéro complémentaire. Si vous pensez continuer à jouer, ne regardez pas la réponse.
Solution

2.2.27

Exercice M-Dans un porte monnaie contenant des pièces

Dans un porte monnaie contenant des pièces d’un franc, de deux francs et de cinq francs, on dénombre
en tout 30 pièces dont 6 sont des pièces de un franc. On laisse tomber deux pièces.
a) Quelle est la probabilité que la somme tombée à terre soit de deux francs ?
b) Si la somme tombée par terre est un nombre impair, quelle est la probabilité qu’au moins une pièce
de deux francs soit tombée du porte-monnaie ?
c) Si 1? est la probabilité que la somme tombée à terre soit de 6 francs, combien ce porte-monnaie doit-il
contenir de pièces de cinq francs ?
d) Si n est le nombre de pièces de deux francs dans ce porte-monnaie, montrer que la probabilité p que
les deux pièces à terre soient de même valeur est donnée par

p=

n2 − 24 n + 291
.
435

e) Déterminer le nombre n de pièces de deux francs que doit contenir ce porte-monnaie pour que cette
probabilité p soit minimale.
f) Déterminer le nombre n de pièces de deux francs que doit contenir ce porte-monnaie pour que cette
probabilité p soit maximale.
Solution

2.2.28

Exercice M-Une boîte contient 36 boules,...

a) Une boîte contient 36 boules, plus précisément 21 boules bleues et 15 boules roses. Quelle est la
probabilité de tirer au hasard de cette boîte deux boules de la même couleur ?
b) Une deuxième boîte contient 50 boules, des bleues et des roses. Si la probabilité de tirer de cette
boîte deux boules de la même couleur est de 47 , combien peut-elle contenir de boules roses ?
c) Une autre boîte contient aussi des boules bleues et roses. On sait que la probabilité d’en tirer une
boule bleue est de 35 . D’autre part, si on en tire une boule rose, la probabilité de retirer une seconde
5
boule rose est de 13
. Combien cette boîte contient-elle de boules bleues.
d) Une dernière boîte contient à nouveau 50 boules, des roses et des bleues. Quand on en tire une
boules on note sa couleur et on remet la boule dans la boîte. Si on effectue quatre fois de suite ce
tirage avec remise, laprobabilité d’obtenir au moins une boule rose est de 99,99%. Combien cette
boîte contient-elle de boules roses ?
Solution

12 juin 2016-09:17

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

15

2.2

Probabilités

2.2.29

Exercice Dans la forêt équatoriale, chaque naissance de gorilles...

Dans la forêt équatoriale, chaque naissance de gorilles donne un gorille gaucher avec une probabilité
égale à 0,3. Un gorille gaucher sur trois a les yeux bleus, un gorille droitier sur quatre a les yeux bleus.
a) Calculer la probabilité pour qu’un gorille pris au hasard ait les yeux bleus.
b) Calculer la probabilité qu’un gorille ayant les yeux bleus soit gaucher.
c) Calculer la probabilité que pour six naissances, il y ait au moins un gorille gaucher aux yeux bleus.
Solution

2.2.30

Exercice M-Dans une ville, 40% de la population...

Dans une ville, 40% de la population a les cheveux bruns, 25% les yeux marrons et 15% ces deux
caractéristiques simultanément. On y choisit une personne au hasard.
a) Quelle est la probabilité que cette personne n’ait ni les cheveux bruns, ni les yeux marrons ?
b) Quelle est la probabilité qu’une personne avec des yeux marrons ait les cheveux bruns ?
Solution

2.2.31

Exercice M-Dans une classe, 15% des notes de mathématiques...

Dans une classe, 15% des notes de mathématiques sont insuffisantes, 25% des notes de physique sont
insuffisantes et 10% des élèves ont des notes insuffisantes dans les deux branches.
a) Un élève a une note insuffisante en physique. Calculer la probabilité qu’il ait aussi une note insuffisante en mathématiques.
b) Un élève a une note insuffisante en mathématiques. Calculer la probabilité qu’il ait aussi une note
insuffisante en physique.
Solution

2.2.32

Exercice M-Dans une autre classe, la probabilité...

Dans une autre classe, la probabilité qu’un élève choisi au hasard ait une note insuffisante en mathématiques vaut 15 .Si on choisit un élève avec une note insuffisante en mathématiques et qu’on choisit un
deuxième élève au hasard, alors la probabilité que ce deuxième élève ait une note insuffisante en mathématiques vaut 16 .
a) Combien d’élèves sont dans cette classe ?
b) On choisit maintenant un élève au hasard, note, si l’élève a une note suffisante (S) ou insuffisante
(I) en physique et répète ceci encore deux fois (3 fois en tout, un élève peut être choisi plusieurs fois).
La probabilité qu’on ait noté au moins une fois I vaut alors 78.4%. Combien d’élèves ont une note
insuffisante en physique ?
Solution

2.2.33

Exercice M-On fait expérimentalement les constatations suivantes...

On fait expérimentalement les constatations suivantes :
— s’il fait beau un jour, la probabilité qu’il fasse beau le lendemain est de 80%.
— s’il fait mauvais un jour la probabilité qu’il fasse mauvais le lendemain est de 60%.
Aujourd’hui il fait beau
a) Calculer la probabilité qu’il fasse beau pendant encore 3 jours.
b) Calculer la probabilité qu’il fasse beau dans 3 jours.
Solution

12 juin 2016-09:17

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

16

2.2

Probabilités

2.2.34

Exercice M-Trois boîtes A, B et C contiennent...

Trois boîtes A, B et C contiennent respectivement 3 boules jaunes et 5 bleues, 2 boules jaunes et 1 bleue,
2 boules jaunes et 3 bleues. On choisit au hasard une des boîtes et on en tire deux boules. Quelle est la
probabilité que les deux boules aient la même couleur ?
Solution

2.2.35

Exercice M-Un programme pour arrêter de fumer permet...

Un programme pour arrêter de fumer permet effectivement d’arrêter de fumer à 48% des femmes et
37% des hommes. Les personnes suivant ce programme avec succès sont à 60% des femmes.
a) Quelle est la proportion d’hommes parmi les personnes qui débutent ce programme ?
b) On choisit au hasard une personne ayant suivi ce programme, quelle est la probabilité qu’elle ait
arrêté de fumer ?
Solution

2.2.36

Exercice M-Dans une population, il y a 5% de daltoniens...

Dans une population, il y a 5% de daltoniens chez les hommes et 0.25% chez les femmes. 48% de la
population sont des hommes.
a) On choisit une personne au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit daltonienne ?
b) La personne est daltonienne. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un homme ?
Solution

2.2.37

Exercice M-Dans un gymnase, 4% des garçons et 1% des filles...

Dans un gymnase, 4% des garçons et 1% des filles mesurent 1.80 m ou plus. 60% des élèves sont des
filles.
a) On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu’il mesure 1.80 m ou plus ?
b) On choisit (au hasard) un élève qui mesure 1.80 m ou plus. Quelle est la probabilité que ce soit une
fille ?
c) On choisit au hasard 10 garçons. Quelle est la probabilité
i qu’ils mesurent tous 1.80 m ou plus ?
ii qu’au moins un, mesure 1.80 m ou plus ?
iii qu’exactement deux, mesurent 1.80m ou plus ?
d) Combien faut-il choisir de garçons pour que la probabilité que l’un d’entre eux au moins mesure 1.80
m ou plus soit égale à 0.9999 ?
Solution

2.2.38

Exercice On jette deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité...

On jette deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux montre 6, sachant
que les deux résultats sont différents ?
Solution

12 juin 2016-09:17

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

17

2.2

Probabilités

2.2.39

Exercice Une urne contient 6 boules blanches ...

Une urne contient 6 boules blanches et 9 noires. On en tire 4 sans remise.
a) Quelle est la probabilité que les deux premières soient blanches et les deux autres noires ?
b) Que devient la probabilité si on ne s’intéresse pas à l’ordre, c’est-à-dire on désire simplement deux
boules noires et deux boules blanches ?
Solution

2.2.40

Exercice Le roi vient d’une famille de 2 enfants...

Le roi vient d’une famille de 2 enfants. Quelle est la probabilité qu’il ait une sœur ?
Solution

2.2.41

Exercice On choisit trois cartes au hasard...

On choisit trois cartes au hasard et sans remise dans un jeu ordinaire de 52 cartes. Calculer la probabilité conditionnelle que la première carte tirée soit un pique, sachant que les deux dernières en sont ?
Solution

2.2.42

Exercice Une récente diplômée a l’intention de passer ...

Une récente diplômée a l’intention de passer trois examens en sciences durant le prochain été. Elle
passera le premier en juin. Si elle réussit, elle passera le deuxième en juillet. Puis, si elle réussit cet
examen, elle passera le dernier en septembre. En cas de non-réussite, elle n’a pas le droit de passer l’examen
suivant. La probabilité de réussir le premier examen est 0, 9. Si elle poursuit, la probabilité conditionnelle
de réussir le deuxième est 0, 8. Si elle réussit au premier et au second examen, la probabilité conditionnelle
de réussir le troisième est 0, 7.
a) Avec quelle probabilité, la candidate réussira-t-elle les trois examens ?
b) Sachant qu’elle ne réussira pas les trois examens, quelle est la probabilité qu’elle ait raté le deuxième ?
Solution

2.2.43

Exercice Une grossesse ectopique a deux fois...

Une grossesse ectopique a deux fois plus de chance de se développer lorsque la femme enceinte fume que
lorsqu’elle est non fumeuse. Si 32% des femmes en âge de maternité fument, quel pourcentage de femmes,
ayant une grossesse ectopique, sont fumeuses ?
Solution

2.2.44

Exercice Dans une certaine ville, 36% des familles...

Dans une certaine ville, 36% des familles possèdent un chien et 22% de celles qui ont un chien possèdent
aussi un chat. De plus, 30% des familles ont un chat. Quelle est
a) la probabilité qu’une famille sélectionnée au hasard possède un chien et un chat ;
b) la probabilité conditionnelle qu’une famille choisie au hasard possède un chien sachant qu’elle a un
chat ?
Solution

12 juin 2016-09:17

Dossier d’exercices - Analyse combinatoire et Probabilités

18

2.2

Probabilités

2.2.45

Exercice Comment placer 20 boules, dont 10 sont...

Comment placer 20 boules, dont 10 sont blanches et 10 noires, dans deux urnes de manière à maximiser
la probabilité de tirer une boule blanche dans l’expérience suivante : on choisit d’abord une urne au hasard,
puis une boule dans cette urne ?
Solution

2.2.46

Exercice On considère deux boîtes, l’une contient...

On considère deux boîtes, l’une contient une bille noire et une blanche et l’autre deux noires et une
blanche. On désigne une boîte au hasard, de laquelle on tire une bille. Quelle est la probabilité qu’elle soit
noire ? Si l’on sait que la bille est blanche, quelle est la probabilité que ce soit la première boîte qui ait été
désignée ?
Solution

2.2.47

Exercice Trois cuisiniers A, B et C sont ...

Trois cuisiniers A , B et C sont chacun capables de préparer une spécialité de gâteau. Ce gâteau doit
être cuit et risque de ne pas monter avec des probabilités de 0, 02, 0, 03 et 0, 05 selon les cuisiniers. Dans
le restaurant où ils travaillent : A cuit 50% de ces gâteaux, B en cuit 30% et C en cuit 20%. Quelle est la
proportion des gâteaux ratés attribuables à A ?
Solution

2.2.48

Exercice Une classe compte 4 garçons et 6 filles...

Une classe c